Question

如图，边长为a的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且，将△AED、△CFD分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点，连结A¢B．

（Ⅰ）判断直线EF与A¢D的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角F－A¢B－D的大小．

Answer 1

（Ⅰ）异面垂直;（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）先证明A¢D⊥面A¢EF即可得EF与A¢D的位置关系是异面垂直；
（Ⅱ）先作出并证明ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角，再利用解三角形的方法求出ÐOHF的大小.
试题解析：（Ⅰ）A¢D⊥EF．       1分
证明如下：因为A¢D⊥A¢E，A¢D⊥A¢F，
所以A¢D⊥面A¢EF，又EFÌ面A¢EF，
所以A¢D⊥EF．直线EF与A¢D的位置关系是异面垂直    4分

（Ⅱ）方法一、设EF、BD相交于O，连结A¢O，作FH⊥A¢B于H，              
连结OH， 因为EF⊥BD，  EF⊥A¢D．
所以EF⊥面A¢BD，A¢BÌ面A¢BD， 所以A¢B⊥EF，又A¢B⊥FH，
故A¢B⊥面OFH，OHÌ面OFH，      所以A¢B⊥OH，
故ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角．
，A¢E＝A¢F＝，EF＝，则，
所以，△A¢EF是直角三角形，则，
则，，∴，，
则A¢B＝，所以，
所以， tanÐOHF＝，故ÐOHF＝．
所以二面角F－A¢B－D的大小为．   12分
方法二、设EF、BD相交于O，连结A¢O，作于G，可得A¢G⊥面BEDF，
，A¢E＝A¢F＝，EF＝，则，

所以，△A¢EF是直角三角形，则，
则，则，
∴，，
所以，，则，
分别以BF、BE为空间直角坐标系的x、y轴，建立如图坐标系，则，， ，，故，，，，
因，，故面A¢BD的一个法向量，
设面A¢BF的一法向量为，则取，
设二面角F－A¢B－D的平面角为，则，∴，
故二面角F－A¢B－D的大小为． 12分