Question

设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比与函数关系为，数列满足，点落在 上，，N，求数列的通项公式；

（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和，使恒成立时，求的最小值．[

 

Answer 1

（1）证明过程详见试题分析； （2）数列的通项公式为；

（3），的最小值为-6．

【解析】

试题分析：（1）按照等比数列的定义证明数列是等比数列；

（2）由（1）知与函数关系为，∴是首项为，公差为1的等差数列，通项公式可求；

（3）先用错位相减法求出数列的前项和，即，化简得恒成立，由单调性知当时，右边最大，所以，的最小值为-6．

（1）证明：当时，，解得． 1分

当时，． 2分

即．

∵为常数，且，∴． 3分

∴数列是首项为1，公比为的等比数列． 4分

（2）【解析】
由（1）得，，． 5分

∵

∴，即．

∴是首项为，公差为1的等差数列． 7分

∴，即（）． 8分

（3）【解析】
由（2）知，则． 9分

所以，

即， ①

， ②

②－①得，

故．

，化简得恒成立，由单调性知当时，右边最大，所以，的最小值为-6． 14分

考点：数列综合应用、函数与方程思想、恒成立问题．