Question

已知不等式

1

x

+

1

y

+

m

x+y

≥0对任意的正实数x、y恒成立，则实数m的最小值为

-4

．

Answer 1

分析：不等式

1

x

+

1

y

+

m

x+y

≥0对任意的正实数x、y恒成立可转化成（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥-m对任意的正实数x、y恒成立，然后利用基本不等式求出不等式左侧的最小值即可求出m的范围．

解答：解：∵不等式

1

x

+

1

y

+

m

x+y

≥0对任意的正实数x、y恒成立，
∴不等式（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥-m对任意的正实数x、y恒成立
而（x+y）（

1

x

+

1

y

）=2+

y

x

+

x

y

≥4
∴-m≤4即m≥-4
故答案为：-4

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．