Question

已知a＞0,函数f(x)=x³-a,x∈(0,+∞).设x₁＞0,记曲线y=f(x)在点(x₁,f(x₁))处的切线为l.

(1)求l的方程.

(2)设l与x轴的交点为(x₂,0),证明①x₂≥;②若x₁＞,则＜x₂＜x₁.

Answer 1

思路分析:利用导数的几何意义及证明不等式的基本方法求解.

(1)解:f′(x)=3x²,由此得切线l的方程为y-(x₁³-a)=3x₁²(x-x₁).

(2)证明:依题意,切线方程中令y=0,x₂=x₁-.

①x₂-=(2x₁³+a-3x₁²)=(x₁-)(2x₁²+x₁-)≥0,

∴x₂≥,当且仅当x₁=时等号成立.

说明:当0＜x₁＜时,x₁-＜0,2x₁²-x₁-＜0,∴x₂-＞0;

当x₁＞时,x₁-＞0,2x₁²-x₁-＞0,∴x₂-＞0;

当x₁=时,x₁-=0,2x₁²-x₁-=0,∴x₂-=0.综上所述,当x₁＞0时,x₂≥.

②若x₁＞,则x₁³-a＞0,x₂-x₁=＜0,且由①知当x₁＞时,x₂＞,

∴＜x₂＜x₁.