题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），且经过点P(1，
3
2
)，M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作圆M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围．
分析：（1）由题设知及椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，求出a=2．又c=1．由此能求出椭圆方程．
（2）先设M（x0，y0），得到圆M的半径r=
(x0-1)2+
y
2
0
，再利用圆心M到y轴距离d=|x0|，结合圆M与y轴有两个交点时，则有r＞d，即可构造关于x0不等式，从而解得点M横坐标的取值范围．
解答：解：（1）由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，…（1分）
即2a=
(1+1)2+(
3
2
)2
+
(1-1)2+(
3
2
)2
=4，…（3分）
∴a=2．又c=1，∴b2=a2-c2=3．…（5分）
故椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1．…（6分）
（2）设M（x0，y0），则圆M的半径r=
(x0-1)2+
y
2
0
，…（7分）
圆心M到y轴距离d=|x0|，…（8分）
若圆M与y轴有两个交点则有r＞d即
(x0-1)2+
y
2
0
＞|x0|，…（9分）
化简得
y
2
0
-2x0+1＞0．…（10分）
∵M为椭圆上的点
∴
y
2
0
=3-
3
4
x
2
0
，…（11分）
代入以上不等式得3
x
2
0
+8x0-16＜0，
解得-4＜x0＜
4
3
．…（12分）
∵-2≤x0≤2，…（13分）
∴-2≤x0＜
4
3
．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程和直线与圆锥曲线的关系，综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网