Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为

3

5

（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为

3

5

，
∴

c a = 3 5 16  b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=5，b=4，c=3，
∴椭圆C的方程是

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆

x2

25

+

y2

16

=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设AB的中点为M（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆16x²+25y²=400，
得

16x12+25y12=400，① 16x22+25y22=400，②

①-②，得16（x₁+x₂）（x₁-x₂）+25（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴32x（x₁-x₂）+50y（y₁-y₂）=0，
∴直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

16x

25y

，
∵直线AB过点（3，0），M（x，y），
∴直线AB的斜率k=

y

x-3

，
∴-

16x

25y

=

y

x-3

，整理，得16x²+25y²-48x=0．
当k不存在时，16x²+25y²-48x=0也成立．
故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x²+25y²-48x=0．