Question

已知椭圆中心在原点，一条准线方程为x＝1，过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点．(1)设M为线段AB中点，当AB与OM夹角的正切值为2时，求椭圆方程；(2)当A，B分别位于第一、三象限时，求椭圆短轴长的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解:(1)设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，由于直线l的方程为y＝x＋c(c＝)，将它代入椭圆方程，得＋＝0，设两根为则．故M，OM斜率．由＝2，得或－3．即或－3，就是(舍去)．又∵＝1，即＝1．∴，所求椭圆方程为＝1． 　　(2)当A，B分别在第一、三象限时，直线AB与y轴的交点(0，c)必在椭圆顶点(0，b)的下方，∴c＜b，于是＞．解得0＜c＜．又b＝，∴0＜b＜，即0＜2b＜1．