Question

【题目】在如图所示的几何体中，平面.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.

(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.

(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.

详解：(1)在中，.

所以，所以为直角三角形，.

又因为平面，所以.

而，所以平面.

(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，

则平面平面.

二面角就是平面与平面所成二面角.

因为，所以是的中位线.

，这样是等边三角形.

取的中点为，连接，因为平面.

所以就是二面角的平面角.

在，所以.

(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.

.

设是平面的法向量，则

令得.

取平面的法向量为.

设平面与平面所成二面角的平面角为，

则，从而.