题目内容
已知直线y=-x+m与椭圆
+
=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，若椭圆的离心率为
，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若向量
•
=0（其中0为坐标原点），求m的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若向量
| OA |
| OB |
（Ⅰ）∵椭圆的离心率为
，焦距为2，
∴
=
，2c=2
∴c=1，a=
∴b=
=
∴椭圆方程为
+
=1；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
将直线y=-x+m，代入椭圆方程，整理可得5x2-6mx+3m2-6=0
∴x1+x2=
，x1x2=
∴y1y2=
∵
•
=0（其中0为坐标原点），
∴x1x2+y1y2=0
∴
+
=0
∴m=±
，此时△=36m2-20（3m2-6）=
＞0．
| ||
| 3 |
∴
| c |
| a |
| ||
| 3 |
∴c=1，a=
| 3 |
∴b=
| a2-c2 |
| 2 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
将直线y=-x+m，代入椭圆方程，整理可得5x2-6mx+3m2-6=0
∴x1+x2=
| 6m |
| 5 |
| 3m2-6 |
| 5 |
∴y1y2=
| 2m2-6 |
| 5 |
∵
| OA |
| OB |
∴x1x2+y1y2=0
∴
| 3m2-6 |
| 5 |
| 2m2-6 |
| 5 |
∴m=±
2
| ||
| 5 |
| 312 |
| 5 |
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的渐近线方程为
，左焦点为F，过A（a，0），B（0，-b）的直线为l，原点到直线l的距离是
．