题目内容

19．已知数列{an}的通项公式${a_n}={log_2}\frac{n}{n+1}（n∈{N^*}）$，设其前n项和为Sn，则使Sn＞-4成立的自然数n有（　　）
A．最大值14B．最小值14C．最大值15D．最小值15

分析 an=log2$\frac{n}{n+1}$log2n-log2（n+1），运用裂项相消求和求得Sn=-log2（n+1），再由对数不等式的解法可得n的范围，进而得到n的最大值

解答 解：an=log2$\frac{n}{n+1}$log2n-log2（n+1），
即有前n项和为Sn=log21-log22+log22-log23+…+log2n-log2（n+1）
=-log2（n+1），
由Sn＞-4，即为log2（n+1）＜4，
解得n+1＜16，即有n＜15，
则n的最大值为14．
故选：A

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查对数的运算性质和不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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