Question

14．已知等比数列{a_n}满足a₁=2，a₄=4（a₃-a₂），数列{b_n}满足b_n=-1+2log₂a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=2，a₄=16，
∴16=2q³，解得q=2．
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ．
∴b_n=-1+2log₂a_n=2n-1．
（Ⅱ）：∵c_n=（2n-1）•2ⁿ，
则此数列的前n项和S_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2×$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-6+（3-2n）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．