Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=m，a_n+1=λa_n+μa_n-1（n≥2）。
（1）若m=2，λ=2，μ=-1，求a_n；
（2）接（1），设S_n是数列的前n项和，，探讨S_n与T_n大小，并予以证明；
（3）若m=0，λ=1，μ=1基于事实：如果d是a与b的公约数，那么d必定是a-b的约数，问是否存在正整数k和n，使得ka_n+2+a_n与ka_n+3+a_n+1有大于1的公约数，如果存在求出k和n，如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1），
∴，
∴，
且，
∴a_n=n；
（2），
∴只需比较n+1和2ⁿ-1的大小，即比较n+2与2ⁿ的大小，
当n=1时，S_n<T_n；
（3）假设存在正整数k，n使得ka_n+2+a_n与ka_n+3+a_n+1有大于1的公约数d，
则d也是即的约数，
依题设有，
∴d是的约数，
从而d是与的公约数同理可得d是的约数依次类推，d是与的约数，
，
故，
于是，
又∵
从而d是k与1的约数，即d为1的约数，这与d>1矛盾；
故不存在k，n使与有大于1的公约数。