Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），设函数f（x）=

a

•

b

-2．
（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；
（2）在A为锐角的△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=4且△ABC的面积为3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

（1）∵向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

-2=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）-2
=6sin²x+sinxcosx+7sinxcosx-2cos²x-2
=6sin²x-2cos²x-2（sin²x+cos²x）+8sinxcosx
=4（sin²x-cos²x）+4sin2x
=4sin2x-4cos2x
=4

2

sin（2x-

π

4

），
∵sin（2x-

π

4

）∈[-1，1]，
∴当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

时，正弦函数sin（2x-

π

4

）取得最大值，且最大值为1，
则f（x）的最大值为4

2

，此时x=kπ+

3π

8

；
（2）由f（A）=4，得到4

2

sin（2A-

π

4

）=4，即sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
又A为三角形的内角，∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，
解得：A=

π

4

或A=

π

2

（由A为锐角，故舍去），
∴A=

π

4

，
又三角形的面积为3，
∴S=

1

2

bcsinA=3，即bc=6

2

，又b+c=2+3

2

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

bc=（b+c）²-2bc-

2

bc
=（2+3

2

）²-12

2

-12=10，
则a=

10

．