Question

（2012•泰州二模）已知正方体C₁的棱长为18

2

，以C₁各个面的中心为顶点的凸多面体为C₂，以C₂各个面的中心为顶点的凸多面体为C₃，以C₃各个面的中心为顶点的凸多面体为C₄，…，依此类推，记凸多面体C_n的棱长为a_n，贝a₆=

2

．

Answer 1

分析：根据条件先求出a₁，a₂，a₃，然后利用归纳推理可以得到a₆的值．

解答：解：分三步求解，如下
（1）正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，
它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，
该正方形对角线长等于正方体的棱长，
所以它的棱长a2=

18 2

2

=18．
（2）正八面体C2各个面的中心为顶点的凸多面体C3是正方体，
正方体C3面对角线长等于C2棱长的

2

3

（正三角形中心到对边的距离等于高的

2

3

），
因此对角线为12，所以a3=

12

2

（3）以上方式类推，得a4=

a3

2

=

12

2

=6，a5=

2 3 a4

2

=

2 3 ×6

2

=

4

2

，a6=

a5

2

=

4

2 ? 2

=

4

2

=2．
故答案为：2．

点评：本题主要考查归纳推理的应用，可以从中找到规律，分奇数项、偶数项讨论，可以求an通项