题目内容
（2012•泰州二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．（1）求证：C1E∥平面ADF；
（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？
分析：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，
=
=
．由此能够证明C1E∥平面ADF．
（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，先证出AD⊥平面B1BCC1．再证明当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．
| CF |
| CC1 |
| CO |
| CE |
| 2 |
| 3 |
（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，先证出AD⊥平面B1BCC1．再证明当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．
解答：解：（1）连接CE交AD于O，连接OF．
因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，
=
=
．
从而OF∥C1E．…（3分）
OF?面ADF，C1E?平面ADF，
所以C1E∥平面ADF．…（6分）
（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
由于B1B⊥平面ABC，BB1?平面B1BCC1，
所以平面B1BCC1⊥平面ABC．
由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC．
又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD⊥平面B1BCC1．
而CM?平面B1BCC1，于是AD⊥CM．…（9分）
因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，
所以CM⊥DF． …（11分）
DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF．
CM?平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF．…（13分）
当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．…（14分）
因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，
| CF |
| CC1 |
| CO |
| CE |
| 2 |
| 3 |
从而OF∥C1E．…（3分）
OF?面ADF，C1E?平面ADF，
所以C1E∥平面ADF．…（6分）
（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
由于B1B⊥平面ABC，BB1?平面B1BCC1，
所以平面B1BCC1⊥平面ABC．
由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC．
又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD⊥平面B1BCC1．
而CM?平面B1BCC1，于是AD⊥CM．…（9分）
因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，
所以CM⊥DF． …（11分）
DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF．
CM?平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF．…（13分）
当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．…（14分）
点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
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