Question

函数f(x)=

ax+b

x2+1

是奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

，
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：f（x）在（-1，1）上是增函数．

Answer 1

分析：先根据函数为奇函数即f（-x）=-f（x）求得b=0，再根据f(

1

2

)=

2

5

求得a=1，得到f（x）的解析式；利用增函数的定义证明f（x）的单调性．

解答：解：（1）f（0）=0得，b=0，再根据f(

1

2

)=

2

5

，得a=1，∴f(x)=

x

x2+1

（2）f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

，令f′（x）＞0得x∈（-1，1），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．

点评：本题考查了函数奇偶性及函数的单调性，函数的性质是高考考试的热点，要会运用函数的奇偶性和单调性进行解题．证明函数的单调性的方法为：定义法和导数法．属基础题．