Question

如图：在椭圆

x2

25

+

y2

16

=1中有一内接矩形ABCD（四个顶点都在椭圆上），A点在第一象限内．当内接矩形ABCD的面积最大时，点A的坐标是（　　）

• A．（

  5 2

  2

  ，2

  2

  ）
• B．（

  5

  2

  ，2）
• C．（

  2

  2

  ，

  2

  ）
• D．（1，

  8 6

  5

  ）

Answer 1

分析：先根据椭圆参数方程设出A点坐标，则椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的内接矩形ABCD的面积可用A点坐标表示，就把矩形ABCD的面积用含参数θ的式子表示，再利用正弦函数的有界性判断θ为何值时，面积有最大值．

解答：解：∵A点在椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上，∴可设A（5cosθ，4sinθ）
∴矩形ABCD的面积为4×（5cosθ）（4sinθ）=80cosθsinθ=40sin2θ
∵sin2θ≤1，且当2θ=

π

2

时等号成立，
∴40sin2θ≤40，且当2θ=

π

2

时等号成立，
∴当2θ=

π

2

，即θ=

π

4

时，椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的内接矩形ABCD面积有最大值，此时A（

5 2

2

，2

2

）
故选A

点评：本题主要考查椭圆的参数方程在求最值时的应用，其中结合了三角函数的有界性，属于综合题．