题目内容
在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+n，记bn=an+n+1，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）记cn=
，数列{cn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜
．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）记cn=
| 2n+2 |
| 2bn+3 |
| n+1 |
| 3 |
证明：（Ⅰ）由题设an+1=2an+n，得an+1+n+2=2（an+n+1），
即bn+1=2bn． …4分
又b1=a1+1+1=3，所以数列{bn}是其首项为3，且公比为2等比数列．…6分
（Ⅱ）由（I）知，bn=3•2n-1．
于是cn=
=
=
+
． …8分
所以cn＜
+
． …11分
所以Sn=c1+c2+…+cn＜
+
(
+
+…+
)=
+
(1-
)＜
．…14分．
即bn+1=2bn． …4分
又b1=a1+1+1=3，所以数列{bn}是其首项为3，且公比为2等比数列．…6分
（Ⅱ）由（I）知，bn=3•2n-1．
于是cn=
| 2n+2 |
| 2bn+3 |
| 2n+1+1 |
| 3(2n+1) |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3(2n+1) |
所以cn＜
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3×2n |
所以Sn=c1+c2+…+cn＜
| n |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 2n |
| n |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n |
| n+1 |
| 3 |
练习册系列答案
相关题目
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．