Question

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（0）≥1⇒-a|a|≥1再去绝对值求a的取值范围，
（2）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．
（3）h（x）≥1转化为3x²-2ax+a²-1≥0，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可．
解答：解：（1）若f（0）≥1，则-a|a|≥1⇒⇒a≤-1
（2）当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，∴，
如图所示：

当x≤a时，f（x）=x²+2ax-a²，
∴．

综上所述：．
（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，
得3x²-2ax+a²-1≥0，△=4a²-12（a²-1）=12-8a²
当a≤-或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；
当-＜a＜时，△＞0，得：
即
综上可得，
当a∈（-∞，-）∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；
当a∈（-，-）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；
当a∈[-，]时，不等式组的解集为[，+∞）．
点评：本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．