Question

5．已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{12}$时取得最大值为4． 若$x∈[-\frac{π}{4}，0]$，则f（x）的值域为[-4，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据y=Asin（ωx+φ）的最小正周期的求法求得此函数的最小正周期．由函数的最大值求A，根据函数在x=$\frac{π}{12}$时取得最大值为4，求得φ，从而得到函数的解析式．根据$x∈[-\frac{π}{4}，0]$，结合正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（3x+φ），故函数的最小正周期为T=$\frac{2π}{3}$，
由函数的最大值为4可得A=4，
由函数在x=$\frac{π}{12}$时取得最大值4可得 4sin（3×$\frac{π}{12}$+φ）=4，
故 $\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z．
结合0＜φ＜π，可得 φ=$\frac{π}{4}$．
综上，函数f（x）=4sin（3x+$\frac{π}{4}$），
∵$x∈[-\frac{π}{4}，0]$，
∴$-\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{4}$，
∴-1≤sin（3x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-4≤4sin（3x+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$，
∴$x∈[-\frac{π}{4}，0]$，则f（x）的值域为[-4，2$\sqrt{2}$]，
故答案为：[-4，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的最小正周期、单调性、定义域和值域，属于中档题．