Question

已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，2cosωx-sinωx）（x∈R，ω＞0）函数f（x）=||+•且最小正周期为π，
（1）求函数，f（x）的最大值，并写出相应的x的取值集合；
（2）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f（B）=2，c=3，S_△ABC=6，求b的值．

Answer 1

解：（1）∵向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，2cosωx-sinωx），∴||==1．
=cos²ωx+2sinωxcosωx-sin²ωx=cos2ωx+sin2ωx=2（cos2ωx+sin22ωx）=2sin（2ωx+），
∴f（x）=2sin（2ωx+）+1．
由T==π，解得ω=1．∴f（x）=2sin（2x+）+1．
由 2x+=2kπ+（k∈Z），即 x=kπ+（k∈Z），
即当x∈{x|x=kπ+，k∈Z}时，f （x）有最大值3．
（2）∵f （B）=2，由（1）知2sin（2x+）+1=2，即 sin（2x+）=．
于是2B+=，解得B=．
由S_△ABC==6，即 ，解得a=8，
由余弦定理得 b²=a²+c²-2accosB=64+9-2×8×3×=49，
∴b=7． （12分）
分析：（1）利用求出两个向量的数量积公式的值以及||的值，可得f（x）=2sin（2ωx+）+1，由周期求得ω=1，故f（x）=2sin（2x+）+1．由2x+=2kπ+（k∈Z），求得f （x）有最大值3时x的取值集合．
（2）由f （B）=2，知2sin（2x+）+1=2，解得B=，再由S_△ABC==6，求出a的值，再由余弦定理求出b的值．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，正弦定理、余弦定理以及二倍角公式的应用，属于中档题．