Question

如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，P'是点P关于AB的对称点，AB=2a（a＞0）．
（Ⅰ）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知先求出点P的坐标，再利用数量积即可求出；
（Ⅱ）设∠POB=θ，θ∈[0，2π），写出点p与P^′的坐标，求出的表达式，再利用二次函数和余弦函数的单调性即可求出其最值．
解答：解：（Ⅰ）以直径AB所在直线为x轴，以O为坐标原点建立平面直角坐标系．
∵P是弧AB靠近点B的三等分点，
连接OP，则，
点P坐标为．
又点A坐标是（-a，0），点B坐标是（a，0），
∴，，
∴．
（Ⅱ）设∠POB=θ，θ∈[0，2π），则P（acosθ，asinθ），
P'（acosθ，-asinθ），
∴，．
∴=a²（2cos²θ+cosθ-1）
==．
当时，有最小值，
当cosθ=1时，有最大值2a²．
点评：熟练掌握圆的对称性、向量的数量积、三角函数和二次函数的单调性是解题的关键．