Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线上的点到焦点的距离为2.

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，点是抛物线上异于原点的点，抛物线在点处的切线与轴相交于点，直线与抛物线相交于两点，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）求出抛物线的准线方程为，由抛物线定义，得到，即可求解抛物线的方程．

（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点处的切线方程为．求出．推出直线的方程，点到直线的距离，联立求出，表示出的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．

（1）抛物线的准线方程为，

因为，由抛物线定义，知，

所以，即，

所以抛物线的方程为．

（2）因为，所以．

设点，则抛物线在点处的切线方程为．

令，则，即点．

因为所以直线PF的方程为，即．

则点到直线的距离为．

联立方程消元，得．

因为，

所以，

所以.

所以的面积为．

不妨设，则．

当时，，所以在上单调递减；

当上，，所以在上单调递增，

所以当时，．

所以的面积的最小值为．