Question

【题目】已知函数，为常数，若当时，有三个极值点（其中）.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】

(1)对函数求导,由于函数在上有三个极值点在上三个实数根,令在有两个不为1的且不相等的实数根,然后利用数形结合转化成函数的交点问题来解决即可.

(2)由(1)可得出结果令,表示出,用综合分析法借助导函数的单调性证明.

(1)由,为常数,得,

由于函数在上有三个极值点,得在上三个实数根,

当=1时,成立,所以令,得在有两个不为1的且不相等的实数根,令,, 在上,两个函数图像如图所示:

当,,图像相切时设切点为M(),由,

,解得即得坐标M(1,1),即得,

由图像可知:N,所以,

当在有两个实数根时,,的图像在上有两个交点,所以得，此时，，

即得的取值范围为:.

(2) 由(1)得在有两个实数根即得,

且,即得,

要证,即

由得

设,,,∴,

联立,得:,∴, ∴要证,只需,

则有:,即,则需证明

令,即需证明

因为恒成立,

所以在,上是单调递减函数,则有

即成立,所以,即得以证明.