Question

11．下列不等式一定成立的是（　　）

• A． lg（x²+$\frac{1}{4}$）＞lgx（x＞0）
• B． sin x+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z）
• C． x²+1≥2|x|（x∈R）
• D． $\frac{1}{{x}^{2}+1}$＞1（x∈R）

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质依次判断各选项即可得出．

解答 解：对于A：lg（x²+$\frac{1}{4}$）＞lgx（x＞0）等价于${x}^{2}+\frac{1}{4}＞x$，即$（x-\frac{1}{2}）^{2}＞0$，故得x$≠\frac{1}{2}$，而题设x＞0，当x=$\frac{1}{2}$时不成立．
对于B：sin x+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z）当且仅当sin²=1时取等号．此时x=$\frac{kπ}{2}$，与题设x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z矛盾，∴不成立．
对于C：x²+1≥2|x|（x∈R）等价于$|x|+\frac{1}{|x|}≥2$，当且仅当x=±1取等号．∴成立．
对于D：$\frac{1}{{x}^{2}+1}$＞1（x∈R）等价于x²+1＜1，即x²＜0，无解，∴不成立．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题．