Question

已知常数k＜0，函数f（x）=

kx2+2kx，-3≤x＜0 -x2+2x，0≤x≤3

（1）求f（-1），f（2.5）的值；
（2）讨论函数f（x）在[-3，3]上的单调性；
（3）求出f（x）在[-3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．

Answer 1

分析：（1）分别将-1与2.5代入f（x）的解析式即可求得其对应值；
（2）利用二次函数的开口及对称轴，可判断函数f（x）在[-3，3]上的单调性；
（3）函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知，f（x）在x=-3或x=3处取得最小值f（-3）=3k或f（3）=-3，而在x=-1或x=1处取得最大值f（-1）=-k或f（1）=1，对k分类讨论即可．

解答：解：（1）f（-1）=-k，f（2.5）=-2.5²+2×2.5=-

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（2）∵k＜0，当-3≤x＜0时，其开口向下，对称轴为x=-1，
∴f（x）在[-3，-1]上为增函数，在[-1，0）上为减函数；
当0≤x≤3时，同理可知f（x）在[0，1]上为增函数，[1，3]上为减函数；
∴f（x）在[-3，-1]，[0，1]上为增函数，在[-1，0），[1，3]上为减函数；
（3）由函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知，f（x）在x=-3或x=3处取得最小值f（-3）=3k或f（3）=-3，而在x=-1或x=1处取得最大值f（-1）=-k或f（1）=1；
故有
①k＜-1时，
f（x）在x=-3处取得最小值f（-3）=3k，在x=-1处取得最大值f（-1）=-k；
②k=-1时，
f（x）在x=-3或x=3处取得最小值f（-3）=f（3）=-3，在 x=-1或x=1处取得最大值f（-1）=f（1）=1；
③-1＜k＜0时，
f（x）在x=3处取得最小值f（3）=-3，在x=1处取得最大值f（1）=1．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查函数单调性的判断与证明，突出分类讨论思想在最值中的应用，属于中档题．