Question

已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足

lim

n→∞

bn=4？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求T₂₀₁₀-S₂₀₁₀．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）=x+m，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数，所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]，由此能求出a_n和b_n．
（2）因为f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数．所以f（x）的值域为[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，则b_n=kb_n-1+2（n≥2）．
法一：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足

lim

n→∞

bn=4，则

lim

n→∞

bn=k

lim

n→∞

bn-1+2，由此能求出k的值．
法二：假设存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足

lim

n→∞

bn=4．当k=1不符合．当k≠1时bn=(1+

2

k-1

)kn-1-

2

k-1

，由此能求出k的值．
（3）因为k＜0，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调减函数，所以f（x）的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]．由此入手，能求出T₂₀₁₀-S₂₀₁₀．

解答：解：（1）因为f（x）=x+m，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数，
所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]…（2分）
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）…（4分）
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．…（6分）
（2）因为f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数
所以f（x）的值域为[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，则b_n=kb_n-1+2（n≥2）…（8分）
法一：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足

lim

n→∞

bn=4，则

lim

n→∞

bn=k

lim

n→∞

bn-1+2，得4=4k+2，则k=

1

2

符合．…（12分）
法二：假设存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足

lim

n→∞

bn=4．
当k=1不符合．…（9分）
当k≠1时，bn=kbn-1+2(n≥2)?bn+

2

k-1

=k(bn-1+

2

k-1

)(n≥2)，
则bn=(1+

2

k-1

)kn-1-

2

k-1

，…（11分）
当0＜k＜1时，

lim

n→∞

bn=

2

1-k

=4，得k=

1

2

符合．…（12分）
（3）因为k＜0，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调减函数，
所以f（x）的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]…（14分）
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
则b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）…（16分）
又b₁-a₁=1
则有T2010-S2010=

2010，(k=-1) 1-k2010 1+k) ，(k＜0，k≠-1)

…（18分）

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．注意极限和分类讨论思想的灵活运用．