Question

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k＜0，且f（x）在区间[0，2]的表达式为f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值（用k表示）；
（2）写出f（x）在区间[-3，2]上的表达式，并讨论f（x）在[-3，2]上的单调性（不要求证明）；
（3）求出f（x）在区间[-3，2]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．

Answer 1

分析：（1）根据区间[0，2]的表达式为f（x）=x（x-2），可得f（1）=-1，f（0.5），利用f（x）=kf（x+2），即可求得f（-1），f（2.5）的值；
（2）分段考虑，分以下情形：①当-3≤x≤-2时，f（x）=k²（x+4）（x+2）；②当-2＜x＜0时，f（x）=kx（x+2），从而可得结论；
（3）分类讨论：f（x）在区间[-3，2]上的最大值为3k²，此时x=-1；再分类讨论，确定函数f（x）在区间[-3，2]上的最小值，即可求得结论．

解答：解：（1）由条件得，∵区间[0，2]的表达式为f（x）=x（x-2），∴f（1）=-1，f（0.5）=-

3

4

∵f（x）=kf（x+2），∴f（-1）=kf（1）=-k，f(2.5)=

1

k

f(0.5)=-

3

4k

（2）分段考虑，分以下情形：
情形一：当-3≤x≤-2时，有1≤x+4≤2，∴f（x+4）=（x+4）（x+2）
由f（x）=kf（x+2），得f（x）=k²f（x+4），∴此时f（x）=k²（x+4）（x+2）
情形二：当-2＜x＜0时，有0＜x+2＜2，∴f（x+2）=（x+2）x，∴此时f（x）=kx（x+2）
综上，f(x)=

k2(x+4)(x+2)  -3≤x≤-2 k x(x+2)-2＜x＜0 x (x-2)    0≤x≤2

∵k＜0，∴f（x）在[-3，-1]和[1，2]上是增函数，在[-1，1]上是减函数．
（3）由（2）中函数f（x）在[-3，2]上的单调性可知，f（x）在区间[-3，2]上的最大值为3k²，此时x=-1
当k＜-1时，f（x）在区间[-3，2]上的最小值为-k²，此时x=-3
当-1＜k＜0时，f（x）在区间[-3，2]上的最小值为-1，此时x=1
当k=-1时，f（x）在区间[-3，2]上的最小值为-1，此时x=-3或x=1

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，体现了换元的思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．