Question

已知方程x²+

x

tanθ

-

1

sinθ

=0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a²）、B（b，b²）的直线与圆x²+y²=1的位置关系是（　　）

• A、相交
• B、相切
• C、相离
• D、随θ值的变化而变化

Answer 1

分析：由a与b为一元二次方程的两个不等的实根，利用韦达定理表示出a+b和ab，然后根据点A和B的坐标求出直线AB的斜率，利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，根据中点坐标和求出的斜率写出直线AB的方程，根据圆的方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线AB的距离d，化简后把表示出的a+b和ab代入即可求出值为1，与圆的半径相等，进而得到直线AB与圆的位置关系是相切．

解答：解：由a和b为方程x²+

x

tanθ

-

1

sinθ

=0的两个不等的实根，
得到a+b=-

1

tanθ

，ab=-

1

sinθ

，
又A（a，a²）、B（b，b²），
得到直线AB的斜率k=

a2-b2

a-b

=a+b，线段AB的中点坐标为（

a+b

2

，

a2+b2

2

）
所以直线l_AB：y=（b+a）（x-

a+b

2

）+

a2+b2

2

．
由圆x²+y²=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，
则圆心到直线AB的距离d=

| a2+b2 2 - (a+b)2 2 |

12+(a+b)2

=

| (a+b)2-2ab 2 - (a+b)2 2 |

12+(a+b)2

=

|ab|

12+(a+b)2

=

| 1 sinθ |

1+ 1 tan2θ

=1=r．
所以直线AB与圆的位置关系是相切．
故选B

点评：此题考查学生灵活运用韦达定理及中点坐标公式化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判断方法，是一道中档题．