Question

已知方程x²+y²-x+4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求的取值范围；
（2）若（1）中的圆的直线x+2y-1=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；
（3）在（2）得条件下，求以MN为直径的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）方程表示圆，满足D²+E²-4F＞0，即可求的取值范围；
（2）联立直线x+2y-1=0与圆的方程，利用OM⊥ON（O为坐标原点），x₁x₂+y₁y₂=0，即可求m；
（3）在（2）得条件下，直接求出N，M的坐标，即可求以MN为直径的圆的方程．

解答：解：（l）方程x²+y²-2x-4y+m=0表示圆，
所以4+16-4m＞0∴m＜5．
（2）由

x+2y-4=0 x2+y2-2x-4y+m=0

得：5y²-16y+8+m=0
△＞0  得m＜

24

5

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由OM⊥ON  得x₁x₂+y₁y₂=0
即（4-2y₁）（4-2y₂）+y₁y₂=0
∴5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0
∴5x

8+m

5

-8x

16

5

+16=0
∴m=

8

5

（3）在（2）得条件下，
当m=

8

5

时，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
得M（-

4

5

，

12

5

），N（

12

5

，

4

5

）
以MN为直径的圆的方程x2+y2-

8

5

x-

16

5

y=0．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．