Question

（12分）已知函数ƒ（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值.

（1）讨论ƒ（1）和ƒ（-1）是函数ƒ（x）的极大值还是极小值；

（2）过点A（0,16）作曲线y= ƒ（x）的切线，求此切线方程.

Answer 1

解：（1）ƒ′(x)=3ax²+2bx-3，依题意，ƒ′（1）= ƒ′（-1）=0，即

3a+2b-3=0，

3a-2b-3=0.

解得a=1，

     b=0.

∴ƒ（x）=x³-3x，ƒ′(x)=3x²-3=3（x+1）（x-1）.

令ƒ′(x)=0，得x₁=-1，x₂=1.

若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则ƒ′(x)>0,故ƒ（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函数.

若x∈（-1,1），则ƒ′(x)<0,故ƒ（x）在（-1,1）上是减函数.

所以ƒ（-1）=2是极大值，ƒ（1）=-2是极小值.