Question

（本小题满分14分）

已知函数ƒ ()=x²+bx+c(＞b＞c)图像上有两点A（m₁，ƒ (m₁)）、B(m₂，ƒ (m₂))满足f(1)=0,且²+( ƒ (m₁)+ ƒ (m₂)) + ƒ (m₁) ƒ (m₂)=0。

(Ⅰ)求证：b≥0；

(Ⅱ)问：能否保证ƒ (m_ί+3)( ί=1,2)中至少有一个为正数？请证明你的结论。

Answer 1

（本题满分14分）

  解：（1）∵ƒ(m₁)，ƒ(m₂)满足方程²+(ƒ(m₁)+ƒ(m₂))+ƒ(m₁)+ƒ(m₂)=0，

即[+ƒ(m₁)]·[+ƒ(m₂)]=0，

∴ƒ(m₁)=－或ƒ(m₂)= －…………………………2分

∴m₁或m₂是方程²+(ƒ(m₁)+ƒ(m₂))+ƒ(m₁)+ƒ(m₂)=0的一实根，

∴△b²－4(+c)≥0，即b²≥4(+c)。………………3分

∵ƒ(1)=0，∴+b+c=0，且＞b＞c，

∴＞0，c＜0且b= ――c,…………………………5分

∴b²―4b,即b(b+4)≥0,

∴＞0，c＜0，∴3－c＞0，∴b≥0。…………………….6分

（2）设ƒ(x)=x²+bx+c=0的两根分别为x₁、x₂，显然其中一根为1，另一根为

                                          ……………………………………7分∴＞0，c＜0，∴＜1。

∵＞b＞c，且b= ――c

∴＞――c＞c.∴―2＜＜－,

∴＜|x₁－x₂| =1－ ＜3……………………….9分

设ƒ(x)=(x－x₁) (x－x₂)=(x－1) (x－)。……………….10分

由已知ƒ(m₁)= ―或ƒ(m₂)= ―，不妨设ƒ(m₁)= ―，

则(m₁－1)(m₁－)= ―＜0  ...................................11分

∴＜m₁＜1, ∴m₁+3＞+3,………………………12分

∴m₁+3＞1.又ƒ(x)在（1，+∞）上是增函数，

∴ƒ(m₁+3) ＞ƒ(1)=0。……………………………13分

同理，当ƒ(m₂)= ―时有ƒ(m₂+3)＞0

∴ƒ(m₁+3)或ƒ(m₂+3)中至少有一个正数。……………………14分