Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A≠0，ω＞0，-π＜ϕ＜0）在$x=\frac{2π}{3}$时取得最大值，且它的最小正周期为π，则（　　）

• A． f（x）的图象过点$（0，\frac{1}{2}）$
• B． f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上是减函数
• C． f（x）的一个对称中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$
• D． f（x）的图象的一条对称轴是$x=\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 由周期求得ω，由特殊点的坐标求出ϕ的值，可得函数的解析式，从而得出结论．

解答 解：由题意可得$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，f（x）=Asin（2x+ϕ）．
再根据在$x=\frac{2π}{3}$时取得最大值，可得f（$\frac{2π}{3}$）=Asin（$\frac{4π}{3}$+ϕ）=|A|，
故 $\frac{4π}{3}$+ϕ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
再结合，-π＜ϕ＜0，可得ϕ=-$\frac{5π}{6}$，f（x）=Asin（2x-$\frac{5π}{6}$），
结合所给的选项，
故选：C．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求得ω，由特殊点的坐标求出ϕ的值，属于基础题．