题目内容

当x>0时，求证：ex>x+1.

分析：本题考查利用导数证明不等式的问题.解题的关键是由导数确定单调区间，由函数在某一区间上的单调性构造不等式求解.

证明不妨设f(x)=ex-x-1,

则f′(x)=(ex)′-(x)′=ex-1.

∵x>0,∴ex>1,ex-1>0.

∴f′(x)>0,即f(x)在（0，+∞)上是增函数.

∴f(x)>f(0),即ex-x-1>e0-1=0.

∴ex>x+1.

点评：利用导数可证明不等式:若函数y=f(x)在x∈(a,b)上是单调增函数,任取a<x<b,则f(x)>f(a),f(x)<f(b);若函数y=f(x)在x∈(a,b)上是单调减函数,任取a<x<b,则f(x)<f(a),f(x)>f(b).

练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=-
1
4
时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）求证：(1+
1
1×2
)(1+
1
2×3
)•…•[1+
1
n(n+1)
]＜e（n∈N*，e是自然对数的底数）．
提示：[ln(x+1)]′=
1
x+1
．
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（1）当a=-
1
4
时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（3）利用ln（x+1）≤x，求证：ln{(1+
2
2×3
)(1+
4
3×5
)(1+
8
5×9
)•…•[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]}＜1（其中n∈N*，e是自然对数的底数）．
已知函数，f（x）=x2，g（x）=2eln（x＞0）（e为自然对数的底数），它们的导数分别为f′（x）、g′（x）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4
e
；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值．

(2007成都模拟)已知函数f(x)=xln x．

(1)求函数f(x)的单调区间和最小值；

(2)当b＞0时，求证:(其中e=2.71828…是自然对数的底数)；

(3)若a＞0，b＞0，证明：f(a)＋(a＋b)ln2≥f(a＋b)－f(b).

（08年周至二中二模理）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .

(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

(3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.

                                 

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网