Question

已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为

4+4

2

．

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosB，将B的度数，以及AC，即b的值代入，整理后再利用基本不等式求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：∵∠B=45°，AC=b=4，
∴由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得：

2

2

=

a2+c2-16

2ac

，
∴

2

ac=a²+c²-16≥2ac-16，即（2-

2

）ac≤16（当且仅当a=c时取等号），
∴ac≤

16

2- 2

=8（2+

2

）=16+8

2

，
∴△ABC面积S=

1

2

acsinB≤

1

2

（16+8

2

）×

2

2

=4+4

2

，
则△ABC面积的最大值为4+4

2

．
故答案为：4+4

2

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．