题目内容
（2007•湛江二模）已知△ABC中，B=C=
，记cosA=x，cosB=cosC=y．
（Ⅰ）求证：1+y=2x2；
（Ⅱ）若△ABC的面积等于2sin
，求AC边上的中线BD的长．
| 2π |
| 5 |
（Ⅰ）求证：1+y=2x2；
（Ⅱ）若△ABC的面积等于2sin
| π |
| 5 |
分析：（I）利用cosA=x，cosB=cosC=y，结合二倍角公式，可证结论；
（II）利用三角形的面积公式，结合b=c，A=
，求出BC，进而可求BD的长．
（II）利用三角形的面积公式，结合b=c，A=
| π |
| 5 |
解答：（Ⅰ）证明：∵B=C=
，∴A=π-(B+C)=π-
=
∴1+y=1+cos
=2cos2
=2x2．…（6分）
（Ⅱ）解：设△ABC中，角B、C所对的边分别为b、c，则有
bcsinA=2sin
，
∵b=c，A=
，
∴b2sin
=4sin
，故b=c=2．…（9分）
又BD2=c2+(
)2-2×c×
cosA=22+12-2×2×1×cos
=5-4cos
，
∴BD=
．…（12分）
| 2π |
| 5 |
| 4π |
| 5 |
| π |
| 5 |
∴1+y=1+cos
| 2π |
| 5 |
| π |
| 5 |
（Ⅱ）解：设△ABC中，角B、C所对的边分别为b、c，则有
| 1 |
| 2 |
| π |
| 5 |
∵b=c，A=
| π |
| 5 |
∴b2sin
| π |
| 5 |
| π |
| 5 |
又BD2=c2+(
| b |
| 2 |
| b |
| 2 |
| π |
| 5 |
| π |
| 5 |
∴BD=
5-4cos
|
点评：本题考查余弦定理的运用，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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