Question

已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）设函数在区间上是增函数，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）递增区间是(?∞，?)，（0，+∞）；递减区间是(?，0)．（2）[-,+).

【解析】

试题分析：（1）求出导函数，解出当=1时，＞0对应的区间就是的增区间，＜0对应的区间就是的减区间；（2）由函数在区间上是增函数知≥0对∈[1,2]恒成立，通过参变分离化为a≥?对∈[1,2]恒成立，求出?在∈[1,2]上的最大值，则a大于等于?在∈[1,2]上的最大值，即得到a的取值范围.

试题解析： =，

（1）当a=1时，=，

令=0得x＝0或x＝?

∴当变化时，，的变化情况如下表

	(?∞，?)	?	(?，0)	0	（0，+∞）
	+	0	-	0	+
	↑	极大值	↓	极小值	↑

 

∴的递增区间是(?∞，?)，（0，+∞）；递减区间是(?，0)．

（2）∵函数在区间[1，2]上是增函数，

∴对任意的∈[1，2]恒有≥0，即对任意的∈[1，2]恒有a≥?

∴a≥[?]max，而函数y＝?在区间[1，2]上是减函数，

∴当=1时，函数y＝?取最大值?，

∴a≥?．

∴的取值范围为[-,+).

考点：常见函数的导数，导数与函数单调性关系，恒成立问题，转化思想