题目内容
【题目】已知函数
．
（1）求证：函数
在
内单调递增；
（2）记
为函数的反函数．若关于
的方程
在
上有解，求
的取值范围；
（3）若
对于
恒成立，求
的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）[log2
，log2
]；（3）（log2
，+∞）
【解析】
（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位；
（2）先求得反函数
，构造函数，利用复合函数的单调性求得函数的值域；
（3）原不等式转化为
，
，
恒成立，解得即可．
解：（1）任取
，则
，
，
，
，
，
即函数
在
内单调递增
（2）
，
当
时，
，
的取值范围是
．
（3）
对于，恒成立，
，
在定义域上单调递增
，
上恒成立
即
在上恒成立
令
，
在定义域上单调递增，且
在
上也单调递增，由复合函数的单调性可知在上单调递增，
解得
．
故
的取值范围为
．
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