题目内容

已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(con
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[
π
2
，π]，求：
（1）
a
-
b
及
a
+
b
；  
（2）若f（x）=
a
.
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
，求λ的值．
分析：（1）直接运用向量的坐标加减法计算；
（2）先求出两向量的数量积，再求出两和向量的模，得出含有实数λ的表达式后分类讨论函数取得最大值的情况，最后求得使函数取得最小值时λ的值．
解答：解：（1）
a
-
b
=(cos
3
2
x，sin
3x
2
)-(cos
x
2
，-sin
x
2
)
=(cos
3x
2
-cos
x
2
，sin
3x
2
+sin
x
2
)
a
+
b
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)+(cos
x
2
，-sin
x
2
)
=(cos
3x
2
+cos
x
2
，sin
3x
2
-sin
x
2
)
（2）
a
•
b
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)•(cos
x
2
，-sin
x
2
)
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x
|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
)2

=
2+2cos2x
=2
cos2x

∵x∈[
π
2
，π]，∴|
a
+
b
|=2
cos2x
=-2cosx
∴f(x)=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|
=cos2x-2λ×（-2cosx）=（4λ+1）cosx
∵x∈[
π
2
，π]，∴cosx∈[-1，0]，
当4λ+1=0时，f（x）=0，函数无最小值
当当4λ+1＞0，即λ＞-
1
4
时，f(x)min=-4λ-1=-
3
2
，∴λ=
1
8

当4λ+1＜0，即λ＜-
1
4
时，f（x）min=0，不合题意．
所以所求的λ的值是
1
8
．
点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标表示即向量模的运算，考查了分类讨论的数学思想，解答此题的关键是分清在λ的不同范围下函数f（x）的最小值情况．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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