Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A、B两点．
（Ⅰ）试证明A、B两点的纵坐标之积为定值；
（Ⅱ）若点N（-m，2m），求直线AN、BN的斜率之和．

Answer 1

（1）证明：由题意设直线AB的方程为x=ty+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=ty+m y2=2px

 消x得：y²-2pty-2pm=0    ①
∴y₁y₂=-2pm为定值．   
（2）设直线AN，BN的斜率分别为k₁k₂，
则k1=

y1-2m

x1+m

，k2=

y2-2m

x2+m

又x=

y2

2p

，2pm=-y₁y₂，且y₁≠y₂，
所以k₁+k₂=

y1-2m

y 21 2p +m

+

y2-2m

y 22 2p +m

=2p（

y1-2m

y 21 +2pm

+

y2-2m

y 22 +2pm

）
=2p（

y1-2m

y 21 -y1y2

+

y2-2m

y 22 -y1y2

）
=2p•

y1y2-2y2m-y1y2+2y1m

y1y2(y1-y2)

=

4pm

y1y2

=-2．
即直线AN，BN的斜率和为-2为所求．