Question

【题目】已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.

(1)求此双曲线的方程；

(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求△AOB的面积.

Answer 1

【答案】(1)－x2＝1；(2)2.

【解析】

（1）利用一条渐近线的离心率为2，和顶点到渐近线的距离列出两个等式结合求得可得双曲线方程；

（2）设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，说明P是AB的中点，由中点坐标公式得P点坐标，代入双曲线方程可求得，设∠AOB＝2θ，则有tan＝2，由此可求得sin 2θ，再有|OA|＝m，|OB|＝n，面积易求．

(1)依题意得解得

故双曲线的方程为－x2＝1.

(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，由得点P的坐标为.

将点P的坐标代入－x2＝1，

整理得mn＝1.

设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，

则tan θ＝，从而sin 2θ＝.

又|OA|＝m，|OB|＝n，

∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin 2θ＝2mn＝2.