Question

若，则S_△ABC的最大值    ．

Answer 1

【答案】分析：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据三角形的两边之和大于第三边列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，根据x的范围求出被开方数中完全平方式为0时的x的值，把求出x的值代入即可得到三角形面积的最大值．
解答：解：设BC=x，则AC=x，
根据面积公式得S_△ABC=AB•BCsinB=×2x×，
又根据余弦定理得cosB===，
代入上式得：
S_△ABC=x=，
由三角形三边关系有：，
解得：2-2＜x＜2+2．
所以当x=2时，x²-12=0，此时S_△ABC取得最大值==2．
故答案为：2
点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用，当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，本题的思路为：利用三角形的任两边之和大于第三边列出不等式，求出x的范围，进而根据x的范围求出完全平方式的最小值即为三角形面积的最大值．