Question

判断函数f（x）=log_a

1+x

1-x

，（0＜a＜1）的单调性并证明．

Answer 1

分析：设g（x）=

x+1

1-x

＞0，先求出函数的定义域为（-1，1），设-1＜x₁＜x₂＜1，由 g（x₁）-g（x₂）＜0，可得g（x）在（-1，1）上是增函数．再由0＜a＜1，可得函数f（x）在定义域内是减函数．

解答：解：设g（x）=

x+1

1-x

＞0 解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1），则函数f（x）在定义域内是减函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，则 g（x₁）-g（x₂）=

1+x 1

1-x 1

-

1+x 2

1-x 2

=

(1+x 1)(1-x 2) - (1-x 1)(1+x 2)

(1-x 1)(1-x 2)

=

2(x 1-x 2)

(1-x 1)(1-x 2)

，
再由-1＜x₁＜x₂＜1 可得 1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴

2(x 1-x 2)

(1-x 1)(1-x 2)

＜0，故 g（x₁）＜g（x₂），g（x）在（-1，1）上是增函数．
再由0＜a＜1，可得log_ag（x₁）＞log_ag（x₂），故函数f（x）=log_a

1+x

1-x

在（-1，1）上是减函数．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的单调性的定义，证明函数的单调性的方法，属于中档题．