Question

已知两直线l₁、l₂的方程分别为mx+（2m-1）y-1=0、mx+y-m+1=0
（1）当m为何值时，l₁∥l₂？
（2）若P（4，-2），求当点P到直线l₁距离最大时m的值．

Answer 1

分析：（1）根据两条直线平行的条件，建立关于m的等式，解出m=1或m=0．再分情况讨论，可得当当m=0时l₁与l₂重合，不合题意舍去．由此即可得到实数m的值；
（2）化简直线l₁，可得定点Q（2，-1）在直线l₁上，由平面几何性质可得PQ⊥l₁时点P到直线l₁距离最大，由此利用垂直直线的斜率关系列式，即可解出实数m的值．

解答：解（1）若直线满足l₁∥l₂，可得m×1=（2m-1）×m，
得2m²-2m=0，解之得m=1或m=0，…..（2分）
①当m=1时，l₁：x+y-1=0，l₂：x+y=0，l₁∥l₂，符合题意．…（4分）
②当m=0时，l₁：-y-1=0，l₂：y+1=0，则l₁与l₂重合，不合题意
∴m=1…（6分）
（2）l₁方程可化为m（x+2y）-y-1=0，可得l₁恒过定点Q（2，-1）…．（8分）
∵直线PQ的斜率kPQ=-

1

2

，
∴当直线PQ⊥l₁时，点P到直线l₁距离最大，…（10分）
可得-

m

2m-1

•(-

1

2

)=-1，解之得m=

2

5

…．（12分）

点评：本题着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的平行与垂直等位置关系的应用．