Question

已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=，E为线段PD上一点．
（1）当E为PD的中点时，求证：BD⊥CE；
（2）是否存在E使二面角E﹣AC﹣D为30°？若存在，求，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：不妨设 ，则PA=PD=2，取AD的中点F，连EF，CF．
则△BCD∽△CDF，
∴∠DBC=∠DCF
∴∠DBC+∠BCF=∠DCF+∠BCF=90° ∴BD⊥CF 又EF∥PA，PA⊥平面ABCD ∴EF⊥平面ABCD 故由三垂线定理知BD⊥CE
（2）作EG⊥AD于G，过G作GH⊥AC于H，连EH，则EH⊥AC，
所以∠EHG为二面角E﹣AC﹣D的平面角．
设EG=x，则DG=x，∴AG=2﹣x，
又，
∴，∴，
∴，
∴，
所以存在点E满足条件，且