题目内容

已知a、b、c∈R+，a、b、c互不相等且abc=1．求证：
a
+
b
+
c
＜
1
a
+
1
b
+
1
c
．
分析：根据条件可化为
a
+
b
+
c
=
1
bc
+
1
ac
+
1
ab
，应用基本不等式即可证得结论．
解答：（本小题满分14分）
证明：∵a、b、c∈R+且互不相等，且abc=1
∴
a
+
b
+
c
=
1
bc
+
1
ac
+
1
ab
＜
1
b
+
1
c
2
+
1
a
+
1
c
2
+
1
a
+
1
b
2
=
1
a
+
1
b
+
1
c
．
故不等式成立．
点评：本题考查基本不等式，难点在于对条件的合理转化即
a
+
b
+
c
=
1
bc
+
1
ac
+
1
ab
的转化，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
50、已知a，b，c∈R，证明：a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc．
证明：
（1）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2，
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2 ≥ 
13
．
已知a，b，c∈R+且满足a+2b+3c=1，则
1
a
+
1
2b
+
1
3c
的最小值为
9
9
．
（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．
已知a，b，c∈R，且a＞b，那么下列不等式中成立的是（　　）

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