Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2$\sqrt{2}$，∠PAB=60°．
（1）证明AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；
（3）求二面角P-BD-A的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过就是PA²+AD²=PD²，证明AD⊥PA．结合AD⊥AB．然后证明AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）说明∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB，判断△PBC是直角三角形，然后求解异面直线PC与AD所成的角正切函数值．
（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE，证明∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．RT△PHE中，$tan∠PEH=\frac{\sqrt{39}}{4}$．

解答 （Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设$PA=2，PD=2\sqrt{2}$，
可得PA²+AD²=PD²，于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得
$PB=\sqrt{P{A^2}+A{B^2}-2PA•AB•cosPAB}=\sqrt{7}$

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故$tanPCB=\frac{PB}{BC}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE
因为AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影．
由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由题设可得，$PH=PA•sin60°=\sqrt{3}，AH=PA•cos60°=1$，$BH=AB-AH=2，BD=\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{13}$，
$HE=\frac{AD}{BD}•BH=\frac{4}{\sqrt{13}}$
于是再RT△PHE中，$tan∠PEH=\frac{\sqrt{39}}{4}$．
所以二面角P-BD-A的正切函数值为$\frac{\sqrt{39}}{4}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．