Question

（本小题满分12分）二次函数满足，且最小值是．

（1）求的解析式；

（2）实数，函数，若在区间上单调递减，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据条件可设，配方可得，再由的最小值是，从而，即有，；（2），

从而，因此存在两个极值点或，再由条件在区间上单调递减，因此需对和的大小关系进行分类讨论，即可得到关于的不等式组， 当，即时，由，得， ∴的减区间是，又∵在区间上单调递减，∴（满足），当，即时，由，得，

∴的减区间是，又∵在区间上单调递减，∴（满足），即实数的取值范围为．

试题解析：（1）由二次函数满足，设， 2分

则，又∵的最小值是，故，解得，

∴； 6分 ；

（2）， 7分

∴，由，得或，又∵，故， 8分 当，即时，由，得，

∴的减区间是，又∵在区间上单调递减，

∴（满足）， 10分

当，即时，由，得，

∴的减区间是，又∵在区间上单调递减，

∴（满足），综上所述得，或，

∴实数的取值范围为． 12分 ．

考点：1．二次函数的解析式；2．导数的运用．