题目内容

已知{a_n}是首项为a₁，公比为q（q≠1）的等比数列，其前n项和为S_n，且有 $数学公式$ ，设b_n=2q+S_n
（1）求q的值；
（2）数列{b_n}能否为等比数列？若能，请求出a₁的值；若不能，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，求数列{nb_n}的前n项和T_n．

解（1）∵q≠1
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1+q⁵= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）由（1）知b_n=2q+S_n=1+ $\text{[math]}$ =（2a₁+1）- $\text{[math]}$
①若数列{b_n}能否为等比数列，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或a₁=0（舍去）
∴ $\text{[math]}$
②∵b_n≠0，且n≥2时， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 时，数列{b_n}为等比数列
（3）由（2） $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
两式相减可得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴T_n=2- $\text{[math]}$
分析：（1）利用已知条件，利用等比数列的求和公式，列出关于等比数列的首项与公比的方程组，求公比
（2）由（1）知b_n=2q+S_n=1+ $\text{[math]}$ =（2a₁+1）- $\text{[math]}$ ，先假设数列{b_n}能否为等比数列，则 $\text{[math]}$ ，可求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，代入检验即可判断
（3）由于b_n是有一等差数列与等比数列的积构成的数列，利用错位相减的方法求出前n项和．
点评：求数列的前n项和，一般先求出通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．