Question

平面内有n(n∈N*)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分成f(n)＝个部分．

Answer 1

答案：
解析：

　　证明：(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两部分，而∴命题成立．

　　(2)假设当n＝k时命题成立，即k条直线把平面分成个部分．

　　则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交，有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了k＋1个平面部分．

　　∴f(k＋1)＝f(k)＋k＋1

　　

　　∴当n＝k＋1时命题成立．

　　由(1)(2)可知当n∈N*时，命题成立．